Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）用直尺和圆规作出∠CBA的平分线BE，交直角边AC于E；（保留作图痕迹）
（2）沿BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合．当∠A满足什么条件时，点D恰好为AB的中点？利用此条件证明D为AB的中点．

Answer 1

解：（1）如图所示．

（2）①由折叠可知，∠EBA=∠EBC，
当D为AB的中点时，DE垂直平分AB，
根据垂直平分线的性质可知，∠A=∠EBA，
在Rt△ABC中，∠A+∠CBA=90°，
即∠A+∠EBA+∠EBC=90°，即∠A=30°，
所以，当∠A=30°时，点D恰好为AB的中点．
分析：（1）①以点B为圆心，任意长为半径画弧，与AB、BC交于M、N两点，②分别以M、N为圆心，以大于MN的长画弧，两弧交于P点，③连接BP交AC与E点；
（2）点D为AB的中点，即DE垂直平分AB，则∠A=∠EBA，由折叠可知∠EBA=∠EBC，而∠A+∠EBA+∠EBC=90°，从而可求∠A．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．