题目内容

【题目】如图,已知ABC是等边三角形,点D在边BC上,DEABACE,延长DE至点F,使EF=AE,联结AF、BECF.

(1)求证:EDC是等边三角形;

(2)找出图中所有的全等三角形,用符号表示,并对其中的一组加以证明;

(3)若BEAC,试说明点DBC上的位置.

【答案】(1)证明见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

①根据等边三角形ABC,以及AB∥DF,可得;

②△ABC为等边三角形,所以AB=AC,CD=CE,所以BD=AE=EF,可知△CDE△AEF为等边三角形,所以∠BDE=∠CEF,所以△BDE≌△EFC,从而得BE=CF,由SSS知△CBE≌△FDC,因为AB=CB=CF,AE=AF,∠BAE=∠EAF=60°,由SAS可知△ABE≌△ACF;

③若BE⊥AC,则E为AC中点,所以D在CB中点.

(1)证明:∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=BAC=ACB=60°

(等边三角形的每个内角都是60°)

又∵DEAB

∴∠EDC=ABC=60°,DEC=BAC=60°(两直线平行,同位角相等)

∴△EDC是等边三角形

(三个内角都是60°的三角形是等边三角形)

(2)图中的全等三角形有:

ECF≌△DEB,AEB≌△AFC,BCE≌△FDC

完整地证出一组:△ABC为等边三角形,所以AB=AC,CD=CE,所以BD=AE=EF,可知△CDE△AEF为等边三角形,所以∠BDE=∠CEF,所以△BDE≌△EFC.

(3)解:若BEAC

又∵AB=BC

EAC的中点(等腰三角形的三线合一).

CE=AC

CE=CD,AC=BC

CD=BC

∴点DBC的中点

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