题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线经过点M(1,3)和N(3,5)

(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;

(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(﹣2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由

【答案】(1)抛物线与x轴没有交点;(2)先向左平移3个单位,再向下平移3个单位将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位.

【解析】

试题分析:(1)把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值,可求得抛物线解析式,再根据一元二次方程根的判别式,可判断抛物线与x轴的交点情况;

(2)利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标,设出平移后的抛物线的解析式,把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式,比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程.

试题解析:

(1)由抛物线过M、N两点,把M、N坐标代入抛物线解析式可得,解得抛物线解析式为,令y=0可得,该方程的判别式为=9﹣4×1×5=9﹣20=﹣11<0,抛物线与x轴没有交点;

(2)∵△AOB是等腰直角三角形,A(﹣2,0),点B在y轴上,B点坐标为(0,2)或(0,﹣2),可设平移后的抛物线解析式为

①当抛物线过点A(﹣2,0),B(0,2)时,代入可得,解得平移后的抛物线为该抛物线的顶点坐标为(),而原抛物线顶点坐标为(),将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线;

②当抛物线过A(﹣2,0),B(0,﹣2)时,代入可得,解得平移后的抛物线为该抛物线的顶点坐标为(),而原抛物线顶点坐标为(),将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.

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