题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3).

(1)求该抛物线的解析式及顶点M坐标;

(2)求BCM面积与ABC面积的比;

(3)若P是x轴上一个动点,过P作射线PQAC交抛物线于点Q,随着P点的运动,在抛物线上是否存在这样的点Q,使以A,P,Q,C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,M(1,﹣4).(2)SBCM:SABC=3:6=1:2.(3)Q点为(2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3)

【解析】

试题分析:(1)有抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0)两点,则可设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3).由与y轴交于点C(0,﹣3),则代入易得解析式,顶点易知.

(2)求BCM面积与ABC面积的比,由两三角形不为同高或同底,所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可.因为SBCM=S梯形OCMD+SBMD﹣SBOC,SABC=ABOC,则结论易得.

(3)由四边形为平行四边形,则对边PQ、AC平行且相等,过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3,又(1)得抛物线解析式,代入即得Q点横坐标,则Q点可求.

解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),

抛物线过点(0,﹣3),

﹣3=a(0+1)(0﹣3),

a=1

抛物线解析式为y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3,

y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

M(1,﹣4).

(2)如图1,连接BC、BM、CM,作MDx轴于D,

SBCM=S梯形OCMD+SBMD﹣SBOC

=(3+4)1+2×4﹣33

=+=3

SABC=ABOC=43=6,

SBCM:SABC=3:6=1:2.

(3)存在,理由如下:

①如图2,当Q在x轴下方时,作QEx轴于E,

四边形ACQP为平行四边形,

PQ平行且相等AC,

∴△PEQ≌△AOC

EQ=OC=3

﹣3=x2﹣2x﹣3,

解得 x=2或x=0(与C点重合,舍去),

Q(2,﹣3).

②如图3,当Q在x轴上方时,作QFx轴于F,

四边形ACPQ为平行四边形,

QP平行且相等AC,

∴△PFQ≌△AOC

FQ=OC=3

3=x2﹣2x﹣3,

解得 x=1+或x=1﹣

Q(1+,3)或(1﹣,3).

综上所述,Q点为(2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3)

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