Question

阅读材料：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

，这是一元二次方程根与系数的关系．据此材料解答以下问题：
若关于x的方程x²-6x+k=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是方程x²-6x+k=0的两根，且x12x22-x1-x2=115，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由关于x的方程x²-6x+k=0有两个实数根，可得判别式△≥0，继而求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，即可求得x₁+x₂=6，x₁•x₂=k，又由x₁²x₂²-x₁-x₂=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）=115，代入即可求得答案．

解答：解：①∵关于x的方程x²-6x+k=0有两个实数根，
∴△=b²-4ac=（-6）²-4×1×k=36-4k≥0，
解得：k≤9，
∴k的取值范围为：k≤9；

②∵x₁，x₂是方程x²-6x+k=0的两根，
∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=k，
∴x₁²x₂²-x₁-x₂=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）=k²-6=115，
∴k²=121，
∴k=±11，
∵k≤9，
∴k=-11．

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意理解题意，掌握果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

的应用．