题目内容
【题目】如图，在四边形
中，
、
为对角线，点
、
、
、
分别为
、
、
、
边的中点，下列说法：
①当
时，、、、四点共圆．
②当
时，、、、四点共圆．
③当且时，、、、四点共圆．
其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，利用三角形中位线定理可证到四边形ENFM是平行四边形；然后根据条件判定四边形ENFM的形状，就可知道M、E、N、F四点是否共圆．
解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．
∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，
∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=
BD，EN=MF=AC．
∴四边形ENFM是平行四边形．
①当AC=BD时，
则有EM=EN，
所以平行四边形ENFM是菱形．
而菱形的四个顶点不一定共圆，
故①不一定正确．
②当AC⊥BD时，
由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°．
所以平行四边形ENFM是矩形．
则有OE=ON=OF=OM．
所以M、E、N、F四点共圆，
故②正确．
③当AC=BD且AC⊥BD时，
同理可得：四边形ENFM是正方形．
则有OE=ON=OF=OM
所以M、E、N、F四点共圆，
故③正确．
故选：C．
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