题目内容
【题目】已知射线AB∥射线CD,P为一动点,AE平分∠PAB,CE平分∠PCD,且AE与CE相交于点E.
(1)在图1中,当点P运动到线段AC上时,∠APC=180°.
①直接写出∠AEC的度数;②求证:∠AEC=∠EAB+∠ECD;
(2)当点P运动到图2的位置时,猜想∠AEC与∠APC之间的关系,并加以说明;
(3)当点P运动到图3的位置时,(2)中的结论是否还成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出∠AEC与∠APC之间的关系,并加以证明。
【答案】(1))①∠AEC=90°②见解析;(2)∠AEC=∠APC, 理由见解析;(3)不成立,∠AEC=180
∠APC ,理由见解析
【解析】
(1)①由平行线的性质可得出∠PAB+∠PCD=180°,进而可得出∠AEC的度数;
②在图1中,过E作EF∥AB,根据平行线的性质可得出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD,进而即可证出∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD;
(2)猜想:∠AEC=∠APC,由角平分线的定义可得出∠EAB=
∠PAB、∠ECD=
∠PCD,由(1)可知∠AEC=∠EAB+∠ECD、∠APC=∠PAB+∠PCD,进而即可得出∠AEC=
(∠PAB+∠PCD)=
∠APC;
(3)在图3中,(2)中的结论不成立,而是满足∠AEC=180°-∠APC,过P作PQ∥AB,由平行线的性质可得出∠PAB+∠APQ=180°、∠CPQ+∠PCD=180°,进而可得出∠PAB+∠PCD=360°-∠APC,再由角平分线的定义可得出∠EAB=
∠PAB、∠ECD=
∠PCD,结合(1)的结论即可证出∠AEC=180°-
∠APC.
(1)①∵AB∥CD,
∴∠PAB+∠PCD=180°,
∴∠AEC=90°;
②证明:在图1中,过E作EF∥AB,则∠AEF=∠EAB.
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠CEF=∠ECD.
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD.
(2)猜想:∠AEC=∠APC,理由如下:
∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD,
∴∠EAB=∠PAB,∠ECD=
∠PCD.
由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD,∠APC=∠PAB+∠PCD,
∴∠AEC=∠PAB+
∠PCD=
(∠PAB+∠PCD)=
∠APC.
(3)在图3中,(2)中的结论不成立,而是满足∠AEC=180∠APC,
其证明过程是:
过P作PQ∥AB,则∠PAB+∠APQ=180°.
∵AB∥CD,
∴PQ∥CD,
∴∠CPQ+∠PCD=180.
∴∠PAB+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°,即∠PAB+∠PCD=360°∠APC.
∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD,
∴∠EAB=∠PAB,∠ECD=
∠PCD.
由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD,
∴∠AEC=∠PAB+
∠PCD=
(∠PAB+∠PCD)= 180°-
∠APC.
