题目内容
【题目】如图，抛物线
与
轴的交点分别为
和点
，与
轴的交点为
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
是线段
上一动点（不与点
重合），过作平行于轴的直线与
交于点
，点
、
在线段
上，点
在线段上．
①是否同时存在点和点，使得
和
全等，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由；
②若
，
是
的垂直平分线，求点的坐标．
【答案】（1）
；（2）①存在点
，使得
和
全等，
，理由见解析；②点
【解析】
（1）利用待定系数法，把A、C、G三点坐标代入一般式，解方程组可求得抛物线解析式；
（2）①分D在线段AO上和在线段OB上两种情况讨论；
②由已知点求出D点坐标，连接DN,证明DN//BC，则可证DN为△ABC的中位线，根据题意可证DM=DN，即可求出M坐标.
（1）将点A
，
，
代入
，得
解得
∴抛物线解析式为：
（2）①存在点，使得和全等
当在线段
上，
，
时，和全等
∴点坐标为
由对称性，当点坐标为
时，
由点
坐标为
此时点在线段
上满足条件．
②
，
则点坐标为
且
连
，
则
，
则点
为
中点．
是
的中位线
∴点
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