Question

【题目】 如图，一次函数y=0.5x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A（-5，a），B两点，与x轴交于点D，与y轴交于点C，且AD=BC．

（1）求此反比例函数的表达式和B点坐标；

（2）连接AO和BO，若点P在x轴上，且S△BDP=S△BOA，求点P的坐标；

（3）如图2，作ABFE，点F和点E分别在y轴和x轴上，求证：∠AED=∠FEO．

Answer 1

【答案】（1）y=-，点B的坐标为（-1，2.5）；（2）点P的坐标为（-13.2，0）或（1.2，0）；（3）详见解析

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出反比例函数的表达式，再联立一次函数及反比例函数的表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，利用三角形的面积公式结合S△BDP=S△BOA，即可求出DP的长度，再结合点D的坐标即可求出点P的坐标；

（3）设点E的坐标为（m，0），点F的坐标为（0，n），利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标公式，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可求出点E的坐标，利用两点间的距离公式可求出AD=AE，进而可得出∠ADE=∠AED，由四边形ABFE为平行四边形可得出AB∥EF，利用平行线的性质可得出∠ADE=∠FEO，再结合∠ADE=∠AED即可证出∠AED=∠FEO．

解：（1）∵一次函数y=0.5x+3的图象过点A（-5，a），

∴a=0.5×（-5）+3=0.5，

∴点A的坐标为（-5，0.5）．

∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（-5，0.5），

∴k=-5×0.5=-2.5，

∴反比例函数的表达式为y=-．

联立一次函数及反比例函数的表达式成方程组，得：，

解得：，，

∴点B的坐标为（-1，2.5）．

（2）当y=0时，0.5x+3=0，

解得：x=-6，

∴点D的坐标为（-6，0）．

∵S△BDP=S△BOA，

∴DP2.5=×（×6×2.5-×6×0.5），

∴DP=7.2，

∴点P的坐标为（-13.2，0）或（1.2，0）．

（3）证明：设点E的坐标为（m，0），点F的坐标为（0，n）．

∵四边形ABFE为平行四边形，且点A的坐标为（-5，0.5），点B的坐标为（-1，2.5），

∴，解得：，

∴点E的坐标为（-4，0），点F的坐标为（0，2）．

∵点D的坐标为（-6，0），点A的坐标为（-5，0.5），

∴AD==，AE==，

∴AD=AE，

∴∠ADE=∠AED．

∵四边形ABFE为平行四边形，

∴AB∥EF，

∴∠ADE=∠FEO，

∴∠AED=∠FEO．