Question

在直角坐标平面内，已知抛物线y=a（x-1）²（a＞0）顶点为A，与y轴交于点C，点B是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC为直角三角形时，求a的值．

Answer 1

分析：首先求出C和B的坐标，利用勾股定理可表示出AC，AB，BC，若△ABC为直角三角形时则BC²=AC²+AB²或 AB²=AC²+BC^2或AC²=AB²+BC²进而求出符合题意a的值即可．

解答：解：
∵y=a（x-1）²（a＞0）的顶点为A，所以点A的坐标为（1，0）．
由 x=0，得y=a，所以点C的坐标为（0，a），
由 x=3，得y=4a，所以点B的坐标为（3，4a），
所以有 

AC2=1+a2 AB2=4+16a2 BC2=9+9a2

，
（1）若 BC²=AC²+AB²
得  9+9a²=1+a²+4+16a²
即   a2=

1

2

，a=±

2

2

．因为a＞0，
∴a=

2

2

；
（2）若 AB²=AC²+BC²
得  4+16a²=1+a²+9+9a²
即   a²=1，a=±1．
∴a＞0，
∴a=1；       
（3）若 AC²=AB²+BC²
得  1+a²=4+16a²+9+9a²
即   a2=-

1

2

，无解．
综上所述，当△ABC为直角三角形时，a的值为1或

2

2

．

点评：本题考查了抛物线和坐标轴的交代问题、勾股定理和勾股定理逆定理的运用和分类讨论的数学思想的运用，题目的综合性很好，难度中等．