题目内容
【题目】已知,如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E,过点E作EG⊥AC于G,交BC的延长线于F.
(1)求证:AE=BE;
(2)求证:FE是⊙O的切线;
(3)若FE=4,FC=2,求⊙O的半径及CG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)⊙O的半径为3;CG=.
【解析】(1)证明:连接CE,如图1所示:
∵BC是直径,∴∠BEC=90°,∴CE⊥AB;
又∵AC=BC,∴AE=BE.
(2)证明:连接OE,如图2所示:
∵BE=AE,OB=OC,∴OE是△ABC的中位线,∴OE∥AC,AC=2OE=6.
又∵EG⊥AC,∴FE⊥OE,∴FE是⊙O的切线.
(3)解:∵EF是⊙O的切线,∴FE2=FCFB.
设FC=x,则有2FB=16,∴FB=8,∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6,∴OB=OC=3,即⊙O的半径为3;∴OE=3.
∵OE∥AC,∴△FCG∽△FOE,∴ ,即 ,解得:CG= .
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