题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)如果∠BAC=60°,AD=4,求AC长.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)连接OD,由AD为角平分线,得到一对角相等,再由OA=OD,得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行,再由DE⊥AC,可得DE⊥OD,即DE为圆O的切线,得证;
(2)作OH⊥AC于H,则AH=CH,由已知易得四边形ODEH为矩形,从而有OH=DE=2,在Rt△OAH中, 即可求得AC的长.
试题解析:(1)连接OD,
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,
∴∠1=∠2,
∵OA=OD,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OD∥AE,
∵DE⊥AE,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线;
(2)作OH⊥AC于H,则AH=CH,
∵∠BAC=60°,
∴∠2=30°,
在Rt△ADE中,DE=AD=2,
易得四边形ODEH为矩形,
∴OH=DE=2,
在Rt△OAH中,∵∠OAH=60°,
∴AH==
,
∴AC=2AH=.

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