题目内容

已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,-3)、B(3,2)两点,且与x轴相交于M、N两点,当以线段MN为直径的圆的面积最小时,求M、N两点的坐标和四边形AMBN的面积.
由抛物线经过A(-2,-3)、B(3,2)两点可得b=1-a,c=-(1+6a)
∴MN=丨x1-x2丨=|
b2-4ac
a
|=|±
25a2+2a+1
a2
|=
(
1
a
)2+
2
a
+25
=
(
1
a
+1)2+24

当a=-1时,MN最小=2
6

此时,b=2,c=5,
∴函数的解析式为:y=-x2+2x+5.
∴M(1-
6
,0),N(1+
6
,0),
此时,四边形AMBN的面积S=
1
2
MN•(|yA|+|yB|)=
1
2
×2
6
×(3+2)=5
6

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