Question

已知关于的方程
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）4+或4+．

试题分析：（1）根据关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
试题解析：（1）证明：∵△=（m+2）²-4（2m-1）=（m-2）²+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
1²-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；
该直角三角形的周长为1+3+=4+；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+．