Question

【题目】在等边中，点为上一点，连接，直线与分别相交于点，且．

（1）如图（1），写出图中所有与相似的三角形，并选择其中的一对给予证明；

（2）若直线向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；

（3）探究:如图（1），当满足什么条件时(其他条件不变)，?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)．

Answer 1

【答案】（1） △BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）当BD平分∠ABC时，PF=PE．

【解析】

（1）由两角对应相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证明；

（2）成立，证法同（1）；

（3）先看PF=PE能得出什么结论，根据△BPF∽△EBF，可得BF2=PFPE=3PF2，因此，因为，可得∠PFB=90°，则∠PBF=30°，由此可得当BD平分∠ABC时，PF=PE．

解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∵∠BPF=60°

∴∠BPF=∠EBF=60°，

∵∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF；

∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，

∴△BPF∽△BCD；

（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下：

如图（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF；

∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，

∴△BPF∽△BCD．

如图（3），同理可证△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；

（3）当BD平分∠ABC时，PF=PE，

理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°．

∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°．

∴PF=PB

又∵∠BEF=60°30°=30°=∠ABP，

∴PB=PE．

∴PF=PE．