Question

如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，设DE=

a

(a＞0)，EM=x．
（1）用含x和a的代数式表示MC的长，并求证：x2-

64-a

•x+12=0．
（2）当a=15，且EM＞MC时，求sin∠EOM的值；
（3）根据图形写出EM的长的取值范围．试问：在弧DB上是否存在一点E，使EM的长是关于x的方程x2-

64-a

•x+12=0的相等实数根？如果存在，求出sin∠EOM的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形CDE，再根据勾股定理求得CE的长，进一步求得MC的长．根据相交弦定理进行证明．
（2）根据（1）中的方程即可求得x的值，即可以求得EM，CM的长．此时会发现三角形EOM是等腰三角形，作其底边上的高，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求得其底边上的高，再进一步求得sin∠EOM的值；
（3）根据图形可知EM一定大于BM的长，即2，而小于AM的长，即6．首先根据方程有两个相等的实数根，利用△=0求得a的值，再进一步求得EM的长．根据EM，OE，OM的长，不难发现这是一个直角三角形，即可求得sin∠EOM的值．

解答：解：（1）∵CD是直径
∴∠CED=90度
在直角三角形CDE中，DE=

a

，CD=8
根据勾股定理，得CE=

64-a

∴MC=

64-a

-x
根据相交弦定理，得
AM•BM=CM•EM
即x（

64-a

-x）=6×2
得x2-

64-a

•x+12=0．

（2）当a=15时，根据（1）中的方程，有
x²-7x+12=0
解得x=3或x=4
又EM＞MC，则
EM=4，MC=3
因为EM=EO=4，作EF⊥OB于F，则OF=1
根据勾股定理，得EF=

15

所以sin∠EOM=

15

4

．

（3）根据图形，显然2＜x＜6．
根据EM的长是关于x的方程x2-

64-a

•x+12=0的相等实数根，则
△=64-a-48=0
∴a=16
把a=16代入方程，解得x=2

3

即EM=2

3

又∵OE=4，OM=2
∴sin∠EOM=

3

2

．

点评：综合运用了数形结合的知识．既要熟悉一元二次方程根的判别式，还要熟悉相交弦定理、勾股定理及其逆定理和锐角三角函数的定义．在计算的过程中能够根据线段的长发现特殊的三角形．