Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；
（3）是否存在点P使△POB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，得，
解得，
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；

（2）∵PQ∥y轴，
∴当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形，
∵当x=0时，y=-x²+3x+4=4y=x+2=2，
∴C（0，4），D（0，2），
∴CD=2，
设P点横坐标为m，则Q点横坐标也为m，
∴PQ=（-m²+3m+4）-（m+2）=2，
解得m₁=0，m₂=2，
当m=0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，
∴m=2，m+2=4
∴P点坐标为（2，4）；

（3）存在，P点坐标为（2，4）或．
分析：（1）把A与B的坐标代入抛物线的解析式中，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到a与b的值，然后把a与b的值代入抛物线的解析式即可确定出抛物线的解析式；
（2）因为PQ与y轴平行，要使四边形PDCQ为平行四边形，即要保证PQ等于CD，所以令x=0，求出抛物线解析式中的y即为D的纵坐标，又根据抛物线的解析式求出C的坐标，即可求出CD的长，设出P点的横坐标为m即为Q的横坐标，表示出PQ的长，令其等于2列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，判断符合题意的m的值，即可求出P的坐标；
（3）存在．分两种情况考虑：当OB作底时，求出线段OB垂直平分线与直线EF的交点即为P的位置，求出此时P的坐标即可；当OB作为腰时，得到OB等于OP，根据等腰三角形的性质及OB的长，利用勾股定理及相似的知识即可求出此时P的坐标．
点评：此题考查学生灵活运用待定系数法求函数的解析式，掌握平行四边形的性质及判断，灵活运用等腰三角形的性质化简求值，是一道综合题．