题目内容

(2012•高安市二模)如图,在下列矩形ABCD中,已知:AB=a,BC=b(a<b),假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形,现给出(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)三个命题:
命题(Ⅰ):图①中,若AH=BG=AB,则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形;
命题(Ⅱ):图②中,若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点,则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形;
命题(Ⅲ):图③中,若EF垂直平分对角线AC,变BC于点E,交AD于点F,交AC于点O,则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.
请解决下列问题:
(1)命题(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)都是真命题吗?请你在其中选择一个,并证明它是真命题或假命题;
(2)画出一个新的矩形内接菱形(即与你在(1)中所确认的,但不全等的内接菱形).
(3)试探究比较图①,②,③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系.
分析:(1)①先证明是平行四边形,再根据一组邻边相等证明;
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等;
③先根据三角形全等证明是平行四边形,再根据对角线互相垂直证明是菱形;
(2)先作一条对角线,在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交,连接四个交点即可.
(3)分别表示出三个菱形的面积,根据边的关系即可得出图(1)图(2)的面积都小于图(3)的面积;根据a与b的大小关系,分a>2b,a=2b和a<2b三种情况讨论.
解答:解:(1)都是真命题;
若选(Ⅰ)证明如下:
∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∵AH=BG,
∴四边形ABGH是平行四边形,
∴AB=HG,
∴AB=HG=AH=BG,
∴四边形ABGH是菱形;
若选(Ⅱ),证明如下:
∵矩形ABCD,
∴AB=CD,AD=BC,
∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∵E、F、G、H是中点,
∴AE=BE=CG=DG,AH=HD=BF=FC,
∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形;
若选(Ⅲ),证明如下
∵EF垂直平分AC,
∴FA=FC,EA=EC,
又∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠FAC=∠ECA,
在△AOF和△COE中,
∠AOF=∠COE=90°
AO=CO
∠FAO=∠ECO

∴△ADF≌△COE(ASA)
∴AF=CE,
∴AF=FC=CE=EA,
∴四边形AECF是菱形;

(2)如图4所示:AH=CF,EG垂直平分对角线FH,四边形HEFG是菱形;


(3)SABGH=a2
SEFGH=
1
2
ab,
S菱形AECF=
a(a2+b2)
2b

a(a2+b2)
2b
-a2=
a(a2+b2)-2a2b
2b
=
a(a-b)2
2b
>0(b>a)
∴S菱形AECF>SABGH
a(a2+b2)
2b
-
1
2
ab=
a(a2+b2)-ab2
2b
=
a(a2+b2-b2)
2b
=
a3
2b
>0,
∴S菱形AECF>SEFGH
∵a2 -
1
2
ab=a(a-
1
2
b)
∴当a>
1
2
b,即0<b<2a时,S菱形ABGH>S菱形EFGH
当a=
1
2
b,即b=2a时,S菱形ABGH=S菱形EFGH
当a<
1
2
b,即b>a时,S菱形ABGH<S菱形EFGH
综上所述:
当O<b<2a时,S菱形EFGH<S菱形ABGH<S菱形AECF
当b=2a时,S菱形EFGH=S菱形ABGH<S菱形AECF. 
当b>2a时  S菱形ABGH<S菱形EFGH<S菱形AECF
点评:本题主要考查了菱形的判定与性质,三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点.注意第(3)题需要分类讨论,以防错解.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网