题目内容

随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走．在坐标平面上，根据指令[s，α]（s≥0，0°＜α＜180°）机器人行走的距离为s．
（1）填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是______．
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（ $数学公式$ ，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，要求写出计算过程）

解：（1）[ $\text{[math]}$ ，45°]；

（2）由题意知：AC=PC，PB=6+2 $\text{[math]}$ -2=4+2 $\text{[math]}$ ，
∴BC=PB-PC=PB-AC=4+2 $\text{[math]}$ -AC，
在直角三角形ABC中，BC=4+2 $\text{[math]}$ -AC，AB=2，根据勾股定理有：
（4+2 $\text{[math]}$ -AC）²+4=AC²
解得AC=4，BC=4+2 $\text{[math]}$ -AC=2 $\text{[math]}$ ，cos∠ACB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠ACB=30°，∠DAC=45°+30°=75°，
因此给机器人的指令应该是[4，75°]．
分析：（1）本题中，要想使机器人运动到A，那么从原点开始，就要先顺时针转45°，即OAD的方向．然后行驶的路程可根据A点的坐标得出为2 $\text{[math]}$ ，因此指令应该是[ $\text{[math]}$ ，45°]．
（2）本题实际求的是∠OAC的度数以及AC的长，根据题意可知道AC=PC，PB=4+2 $\text{[math]}$ ，AB=2，那么我们可用PC（即AC）表示出BC，然后在直角三角形ABC中求出AC的长，也就能求出∠BAC和∠OAC的度数了．
点评：本题主要考查了解直角三角形在实际中的应用，弄清指令中各数的含义是解题的关键．