Question

已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
（1）若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；
（2）如图2：连接PE交BC边于点F，连接DE，设AE长为x，CF长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）将点B沿直线EF翻折，使点B落在平面上的B′处，当EF=时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．

Answer 1

解：（1）取BC的中点G，连接AG．
∵圆A与圆G圆外切，
∴AG=AE+1．
正方形ABCD中，AB=2，设AE=x．
∵在Rt△ABG中，AB²+BG²=AG²，
∴（负数舍去）．
∴以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，AE的长为．

（2）过点D作DH⊥PE于H，连接DF．
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∵四边形ABCD为正方形，
∴DC∥AB，
∴∠PDE=∠DEA，
∴∠PED=∠DEA；
∵∠A=∠DHE=90°，DE=DE，
∴△DAE≌△DHE；
∴DA=DH，EA=EH．
∵DC=DH，∠DCF=∠DHF=90°，DF=DF，
∴△DHF≌△DCF；
∴CF=FH；
∵AE=x，CF=y，
∴EF=x+y，BE=2-x，BF=2-y；
∴在直角三角形BEF中，BE²+BF²=EF²，
∴（2-x）²+（2-y）²=（x+y）²，
整理得到：；

（3）∵EF=，
∴，
∴，
解得：．
当x₁=1时，；
∵B沿直线EF翻折落在平面上的B'处，
∴BB'⊥EF，设垂足为Q．
∴BQ=，BB'=．
∵E、Q分别为AB、BB'的中点，
∴EQ∥AB'，
∴∠ABB'=∠EQB=90°．
在△AB'B与△BEF中，，，
∴=，
∴△AB'B∽△BEF；
（用相似传递性也可以证明△AB'B∽△BEF，也按步骤分步得分）
当时，．
∵==2，=1，
EQ与AB'不平行，
∴△ABB'不是直角三角形，
∴△AB'B与△BEF不相似．
综上所述，当EF=，AE=1时，△AB'B∽△BEF；
当EF=，时，△AB'B与△BEF不相似．
分析：（1）两圆外切，则圆心距等于两圆的半径和；设BC的中点为G，那么AG的长应该是AE+BC，进而可在Rt△ABG中，由勾股定理求得AE的长．
（2）若要x、y发生联系，需将它们构建到同一个直角三角形中；连接DF，过D作DH⊥PE于H；通过证△DAE≌△DHE得到AE=EH=x，通过证△DHF≌△DCF得到CF=FH=y，进而可在Rt△EFB中，根据勾股定理求得x、y的函数关系式；
（3）由（2）知：当EF=时，x+y=，联立（2）的函数关系式可求得此时x的值，进而可求出AE、BF的长；根据折叠的性质知：EF垂直平分BB′，设垂足为Q；在Rt△BEF中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求得BQ的长，也就得出了BB′的长；然后再判断两个直角三角形的对应边是否成比例即可．
点评：此题考查了正方形的性质、相切两圆的位置关系、勾股定理、相似三角形及全等三角形的判定和性质等知识的应用能力，综合性强，难度较大．