题目内容

随着科学技术的发展,机器人早已能按照设计的指令完成下列动作:先原地顺时针旋转角度α,再朝其对面方向沿直线行走.在坐标平面上,根据指令[s,α](s≥0,0°<α<180°)机器人行走的距离为s.
(1)填空:如图,若机器人在直角坐标系的原点,且面对y轴的正方向,现要使其移动到点A(2,2),则给机器人发出的指令应是
 

(2)机器人在完成上述指令后,发现在P(6+2
3
,0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动,已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同,若忽略机器人原地旋转的时间,请你给机器人发一个指令,使它能最快截住小球.(如图,点C为机器人最快截住小球的位置,要求写出计算过程)
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分析:(1)本题中,要想使机器人运动到A,那么从原点开始,就要先顺时针转45°,即OAD的方向.然后行驶的路程可根据A点的坐标得出为2
2
,因此指令应该是[2
2
,45°].
(2)本题实际求的是∠OAC的度数以及AC的长,根据题意可知道AC=PC,PB=4+2
3
,AB=2,那么我们可用PC(即AC)表示出BC,然后在直角三角形ABC中求出AC的长,也就能求出∠BAC和∠OAC的度数了.
解答:解:(1)[2
2
,45°];

(2)由题意知:AC=PC,PB=6+2
3
-2=4+2
3

∴BC=PB-PC=PB-AC=4+2
3
-AC,
在直角三角形ABC中,BC=4+2
3
-AC,AB=2,根据勾股定理有:
(4+2
3
-AC)2+4=AC2
解得AC=4,BC=4+2
3
-AC=2
3
,cos∠ACB=
BC
AC
=
2
3
4
=
3
2

∴∠ACB=30°,∠DAC=45°+30°=75°,
因此给机器人的指令应该是[4,75°].
点评:本题主要考查了解直角三角形在实际中的应用,弄清指令中各数的含义是解题的关键.
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