Question

（2011•哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，0），直线y=-

4

3

x+b经过点A，与y轴交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）若动点P从B点出发，以5个单位/秒的速度沿BO向终点O运动，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，M为PQ上的一点，且QM=2PM，过M点作MN⊥OA，垂足为N，设MN的长为y，点P的运动时间为t，求y关于t（秒）的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，将△BPQ沿直线PQ折叠得到△B′PQ，过B′点作B′D垂直x轴于点D，当t为何值时，∠MB′N=90°，并判断此时直线B′D与以MN为直径的⊙O′的位置关系，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A的坐标为（6，0）代入直线y=-

4

3

x+b求出直线的解析式，当x=0时求出y值就可以求出点B的坐标．
（2）由（1）B的坐标可以求出OB，再由勾股定理就可以求出AB的值，由PQ⊥AB，根据三角形的正弦值表示出PQ再由已知条件可以表示出PM，如图1作PH⊥MN可以求得∠MPH=∠ABO，可以表示出MH，这样就可以得出结论．
（3）如图2，作NK⊥AB于K，O′R⊥B′D于R，通过证明△MQB′∽△B′KN，利用（2）的结论可以求出∠MB′N=90°时t的值，然后就可以表示出ON，MN的值，计算比较O′R与

1

2

MN的大小从而可以确定B′D与⊙O′的位置关系．

解答：解：（1）把（6，0）代入y=-

4

3

x+b，得
0=-8+b，
∴b=8，
∴y=-

4

3

x+8，当x=0时，y=8，
∴B（0，8）；

（2）∵OB=8，OA=6，由勾股定理得AB=10．
∵PQ⊥AB，BP=5t，
∴sin∠OBA=

OA

AB

=

PQ

BP

=

6

10

=

3

5

，
即

3

5

=

PQ

5t

，
∴PQ=3t，
∴BQ=4t，
∵QM=2PM，
∴PM=t，QM=2t．
如图1，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN⊥OA，
∴MN∥OB，
∴∠MPH=∠0BA，
∴sin∠MPH=

3

5

，
∴

MH

PM

=

PQ

BP

，
∴MH=

3

5

t，
∴ON=PH=

4

5

t，
∵HN=PO=8-5t，
∴y=MN=MH+HN=8-5t+

3

5

t，
∴y=-

22

5

t+8（0＜t≤

8

5

）；

（3）如图2，过点N作NK⊥AB于K，
∵PQ⊥AB，
∴∠MQB′=∠NKB′=90°．
根据题意B′点在直线AB 上，且BQ=B′Q=4t，
∵∠MB′N=90°，
∴∠MB′Q+∠NB′K=90°．
∵∠NB′K+∠B′NK=90°，
∴∠MB′Q=∠B′NK，
∴△MB′Q∽△B′NK，
∴

MQ

B′K

=

QB′

NK

．
∴ON=

4

5

t，AN=6-

4

5

t，NK=（6-

4

5

t）×

4

5

=

24

5

-

16

25

t，AK=（6-

4

5

t）×

3

5

=

18

5

-

12

25

t，
∴

2t

10-8t-( 18 5 - 12 25 t)

=

4t

24 5 - 16 25 t

，
解得t=

5

9

．
过点O′作O′R⊥B′D于R，当t=

5

9

时．
ON=

4

9

，MN=

50

9

，的值，计算比较O′R=MD=OD-ON=OA-AD-ON=6-

3

5

AB′-

4

9

=

20

9

，

1

2

MN=

25

9

，
∴O′R＜

1

2

MN，
∴直线B′D于⊙O′相交．

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了点的坐标，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的运用．