题目内容
（2011•哈尔滨模拟）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，点E在CD边上运动（点E与点C、D两点不重合），△AEP为，直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，过点E作EM∥BC交AF于点M．
（1）若∠BAD=120°（如图1），求证：BF+DE=EM；
（2）若∠BAD=90°（如图2），则线段BF、DE、EM的数量关系为
EM
EM；
（3）在（1）的条件下，若AD：BF=3：2，EM=7，求CE的长．
（1）若∠BAD=120°（如图1），求证：BF+DE=EM；
（2）若∠BAD=90°（如图2），则线段BF、DE、EM的数量关系为
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
（3）在（1）的条件下，若AD：BF=3：2，EM=7，求CE的长．
分析：（1）延长FB到N，使BN=ED，连接AN、EF，通过求证△ADE≌△ABN，推出AN=AE，∠DAE=∠BAN，根据∠AD=120°，∠EAF=60°，推出∠NAF=∠EAF，继而推出△ANF≌△AEF，求得NF=EF，∠AFN=∠AFE后，结合ME∥BC，推出∠AFB=∠EMF=∠AFE，即可推出ME=EF，可得BF+DE=EM．
（2）延长CB至N点，使BN=DE，根据题意即可推出△ABN≌△ADE，求得∠EAD=∠NAB，NF=DE+BF，AN=AE，求得∠BAN+∠BAF=30°，由∠P=30°，∠AEP=90°，得
=
，∠BAN+∠BAF=30°，再由ME∥BC，推出∠NFA=∠FME，得△ANF∽△PEM，由AN=AE，即可推出
=
=
，通过计算可得BF+DE=
ME．
（3）过D点做DG∥AB交BC于G点，作EK⊥BC于K点，连接EF，由四边形ABGD为平行四边形，∠BAD=120°，∠ABC=∠C=60°，推出△DGC为等边三角形，设AD=3x，BF=2x，根据BF+DE=EM，EM=7，得，DE=7-2x，EC=5x-7，EF=EM=7，继而推出BC=6x，FC=4x，求出EK=
，FK=4x-
=
后，根据勾股定理，即可求出x的值，继而求得EC的长度．
（2）延长CB至N点，使BN=DE，根据题意即可推出△ABN≌△ADE，求得∠EAD=∠NAB，NF=DE+BF，AN=AE，求得∠BAN+∠BAF=30°，由∠P=30°，∠AEP=90°，得
| AE |
| PE |
| ||
| 3 |
| NF |
| EM |
| AE |
| PE |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
（3）过D点做DG∥AB交BC于G点，作EK⊥BC于K点，连接EF，由四边形ABGD为平行四边形，∠BAD=120°，∠ABC=∠C=60°，推出△DGC为等边三角形，设AD=3x，BF=2x，根据BF+DE=EM，EM=7，得，DE=7-2x，EC=5x-7，EF=EM=7，继而推出BC=6x，FC=4x，求出EK=
| ||
| 2 |
| 5x-7 |
| 2 |
| 3x+7 |
| 2 |
解答：解：（1）如图3，延长FB到N，使BN=ED，连接AN、EF，
∵∠AEP=90°，∠P=30°，
∴∠PAE=60°，
∵AB=AD，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABN=∠D，
∵在△ADE和△ABN中，
，
∴△ADE≌△ABN（SAS），
∴AN=AE，∠DAE=∠BAN，
∵∠BAD=120°，∠PAE=60°，
∴∠NAF=∠EAF，
∵在△ANF和△AEF中，
，
∴△ANF≌△AEF（SAS），
∴NF=EF，∠AFN=∠AFE，
∵ME∥BC，
∴∠AFB=∠EMF=∠AFE，
∴ME=EF，
∴BF+DE=EM，
（2）如图4，延长CB至N点，使BN=DE，
∵AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD为正方形，
∵在△ABN和△ADE中，
，
∴△ABN≌△ADE（SAS），
∴∠EAD=∠NAB，NF=DE+BF，AN=AE，
∵∠P=30°，∠AEP=90°，
∴∠PAE=60°，
=
，
∴∠EAD+∠BAF=30°，
∴∠BAN+∠BAF=30°，
∠NAP=∠P，
∵ME∥BC，
∴∠NFA=∠FME，
∴△ANF∽△PEM，
∴
=
，
∵AN=AE，
∴
=
=
，
∴BF+DE=
ME，
（3）过D点做DG∥AB交BC于G点，作EK⊥BC于K点，连接EF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABGD为平行四边形，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴△DGC为等边三角形，
设AD=3x，BF=2x，
∵BF+DE=EM，EM=7，
∴DE=7-2x，EC=5x-7，EF=EM=7，
∵AB=AD，四边形ABGD为平行四边形，
∴AD=BG，
∴BC=6x，FC=4x，
∵EK⊥BC，
∴EK=
，FK=4x-
=
，
∵EF2=FK2+EK2，
∴（
）2+[
]2=49，
解方程的：x=2，
∴EC=3．
∵∠AEP=90°，∠P=30°，
∴∠PAE=60°，
∵AB=AD，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABN=∠D，
∵在△ADE和△ABN中，
|
∴△ADE≌△ABN（SAS），
∴AN=AE，∠DAE=∠BAN，
∵∠BAD=120°，∠PAE=60°，
∴∠NAF=∠EAF，
∵在△ANF和△AEF中，
|
∴△ANF≌△AEF（SAS），
∴NF=EF，∠AFN=∠AFE，
∵ME∥BC，
∴∠AFB=∠EMF=∠AFE，
∴ME=EF，
∴BF+DE=EM，
（2）如图4，延长CB至N点，使BN=DE，
∵AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD为正方形，
∵在△ABN和△ADE中，
|
∴△ABN≌△ADE（SAS），
∴∠EAD=∠NAB，NF=DE+BF，AN=AE，
∵∠P=30°，∠AEP=90°，
∴∠PAE=60°，
| AE |
| PE |
| ||
| 3 |
∴∠EAD+∠BAF=30°，
∴∠BAN+∠BAF=30°，
∠NAP=∠P，
∵ME∥BC，
∴∠NFA=∠FME，
∴△ANF∽△PEM，
∴
| NF |
| EM |
| AN |
| PE |
∵AN=AE，
∴
| NF |
| EM |
| AE |
| PE |
| ||
| 3 |
∴BF+DE=
| ||
| 3 |
（3）过D点做DG∥AB交BC于G点，作EK⊥BC于K点，连接EF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABGD为平行四边形，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴△DGC为等边三角形，
设AD=3x，BF=2x，
∵BF+DE=EM，EM=7，
∴DE=7-2x，EC=5x-7，EF=EM=7，
∵AB=AD，四边形ABGD为平行四边形，
∴AD=BG，
∴BC=6x，FC=4x，
∵EK⊥BC，
∴EK=
| ||
| 2 |
| 5x-7 |
| 2 |
| 3x+7 |
| 2 |
∵EF2=FK2+EK2，
∴（
| 3x+7 |
| 2 |
| ||
| 2 |
解方程的：x=2，
∴EC=3．
点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，正确的做出辅助线，正确的求证相关的三角形全等，认真的进行计算．
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