Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．

（1）直接写出：b的值为　 　；c的值为　 　；点A的坐标为　 　；

（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．

①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；

②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣；﹣2；（﹣1，0）；（2）①MD＝（﹣m2+4m），DM最大值；②（，﹣）或（，﹣）．

【解析】

（1）直线yx﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标为：(4，0)、(0，﹣2)，即可求解；

（2）①MD=DHcos∠MDH(m﹣2m2m+2)(﹣m2+4m)，即可求解；②分∠CDM=90、∠MDC=90°、∠MCD=90°三种情况，分别求解即可．

（1）直线yx﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，

则点B、C的坐标为：(4，0)、(0，﹣2)．

将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b，c=﹣2．

故抛物线的表达式为：…①，点A(﹣1，0)．

故答案为：，﹣2，(﹣1，0)；

（2）①如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H交x轴于点E．

设点D(m，m2m﹣2)，点H(m，m﹣2)．

∵∠MDH+∠MHD=90°，∠OBC+∠BHE=90°，∠MHD=∠EHB，

∴∠MDH=∠OBC=α．

∵OC=2，OB=4，

∴BC=，

∴cos∠OBC=，则cos；

MD=DHcos∠MDH(m﹣2m2m+2)(﹣m2+4m)．

∵0，故DM有最大值；

②设点M、D的坐标分别为：(s，s﹣2)，(m，n)，nm2m﹣2；分三种情况讨论：

(Ⅰ)当∠CDM=90°时，如图2，

过点M作x轴的平行线交过点D与x轴的垂线于点F，交y轴于点E．

易证△MEC≌△DFM，

∴ME=FD，MF=CE，

即s﹣2﹣2=m﹣s，ss﹣2﹣n，

解得：s，或s=8(舍去)．

故点M(，)；

(Ⅱ)当∠MDC=90°时，如图3，过D作直线DE⊥y轴于E，MF⊥DE于F．

同理可得：s，或s=0(舍去)．

故点M(，)；

(Ⅲ)当∠MCD=90°时，

则直线CD的表达式为：y=﹣2x﹣2…②，

解方程组：

得：(舍去)或，

故点D(﹣1，0)，不在线段BC的下方，舍去．

综上所述：点M坐标为：(，)或(，)．