题目内容
【题目】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位）（S＞0），点P的运动时间为t（秒）
（t＞0）．
（1）求线段AC的长．
（2）当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
（3）若边EF所在直线与边AC交于点Q，连结PQ，如图2，直接写出△ABC的某一顶点到P、Q两点距离相等时t的值．
【答案】（1）5（2）S=
（5﹣t）2（3）综上所述，t=
s或
s或
s时，满足题目要求
【解析】分析: （1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD，在Rt△BDC中，求出CD即可．
（2）分2种情形求解：如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．如图2中，当
≤t＜5时，重叠部分是四边形PNMF．
（3）如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．根据PE=PA，可得t=5-t解决问题．如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．在Rt△BQD中，根据BQ2=QD2+BD2，列出方程即可解决问题.
详解:
（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，
∴AD=
=
=4，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，∴CD=
=
=1，
∴AC=AD+CD=4+1=5．
（2）如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．
易知PA=t，AM=
t，PM=
t，DM=4﹣t，
∴S=t（4﹣t）=﹣
t2+
t．
如图2中，当≤t＜5时，重叠部分是四边形PNMF．
∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，
∴AC=AB，
易证PB=PE=5﹣t，PF=
（5﹣t），PN=（5﹣t），
S=
（5﹣t）（5﹣t）﹣
（5﹣t）（5﹣t）=（5﹣t）2．
（3）如图3中，当A到P、Q距离相等时．
易知四边形APEQ时菱形，∴PE=PA，即t=5﹣t，∴t=．
如图4中，当B到P、Q距离相等时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．
易知四边形PENG是矩形，四边形DMEN是矩形，∴PG=EN=t，EM=DN=PE﹣PM=（5﹣t），
QN=
EN=t，∴QD=4﹣（5﹣t）=t﹣1，在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，
∴（5﹣t）2=32+（t﹣1）2，∴t=．
如图5中，当C到P、Q距离相等时，作PM⊥AC与M，连接PC．
由PC=CQ，可得：（t）2+（5﹣t）2=t2，解得t=
综上所述，t=s或s或s时，满足题目要求．
点睛: 本题考查三角形综合题、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题.
