Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点．

（1）求点A、B的坐标；

（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；

（3）如图 3，（也可以利用图 1）①求点F的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，3）；（2）45°；（3）（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）．

【解析】

（1）根据非负数的性质可求出a和b，即可得到点A和B的坐标；
（2）由平行线的性质结合角平分线的定义可得则∠NDM-∠OAN=45°，再利用∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，得到∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，所以∠NDM+∠DNM=135°，然后根据三角形内角和定理得180°-∠NMD=135°，可求得∠NMD=45°；
（3）①连结OB，如图3，设F（0，t），根据S△AOF+S△BOF=S△AOB，得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得点F的坐标；②先计算△ABC的面积，再分点P在y轴上和在x轴上讨论．当P点在y轴上时，设P（0，y），利用S△ABP=S△APF+S△BPF，可解得y的值，可求得P点坐标；当P点在x轴上时，设P（x，0），根据三角形面积公式得，同理可得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．

（1）∵（a+b）2+|a﹣b+6|=0， ∴a+b=0，a﹣b+6=0，

∴a=﹣3，b=3， ∴A（﹣3，0），B（3，3）；

（2）如图2，

∵AB∥DE，∴∠ODE+∠DFB=180°，

而∠DFB=∠AFO=90°﹣∠FAO，

∴∠ODE+90°﹣∠FAO=180°，

∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，

∴∠OAN=∠FAO，∠NDM=∠ODE，

∴∠NDM﹣∠OAN=45°，

而∠OAN=90°﹣∠ANO=90°﹣∠DNM，

∴∠NDM﹣（90°﹣∠DNM）=45°，

∴∠NDM+∠DNM=135°，∴180°﹣∠NMD=135°，

∴∠NMD=45°， 即∠AMD=45°；

（3）①连结OB，如图3，

设F（0，t），∵S△AOF+S△BOF=S△AOB，

∴3t+t3=×3×3，解得t=，

∴F点坐标为（0，）；

②存在．

△ABC的面积=×7×3=，

当P点在y轴上时，设P（0，y），

∵S△ABP=S△APF+S△BPF，

∴|y﹣|3+|y﹣|3=，解得y=5或y=﹣2，

∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；

当P点在x轴上时，设P（x，0），

则|x+3|3=，解得x=﹣10或x=4，

∴此时P点坐标为（﹣10，0），

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）．