Question

（2011•红桥区一模）如图，要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬等宽，且四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，应如何设计四周边衬的宽度？（结果保留根号）
分析：封面的长宽之比为27：21=9：7，中央矩形的长宽之比也应是9：7，若设上下边衬的宽均为9xcm，则左右边衬均为7xcm．
（1）用含x的代数式表示：中央矩形的长为

（27-18x）

cm，宽为

（21-14x）

cm，中央矩形的面积为

（27-18x）（21-14x）

cm²．
（2）列出方程并完成本题解答．

Answer 1

分析：（1）根据中央矩形的长=封面的长-2×上下边衬的宽，中央矩形的宽=封面的宽-2×左右边衬的宽，再根据矩形的面积=长×宽列式即可；
（2）由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积是封面面积的四分之三，据此列出方程，求解即可．

解答：解：（1）设上下边衬的宽均为9xcm，则左右边衬均为7xcm．
∵一本书的封面长为27cm，宽为21cm，
∴中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm，中央矩形的面积为（27-18x）（21-14x）cm²．
故答案为（27-18x），（21-14x）cm，（27-18x）（21-14x）；

（2）由题意，得（27-18x）（21-14x）=

3

4

×27×21，
解得x₁=

6-3 3

4

，x₂=

6+3 3

4

（不合题意舍去）．
∴上下边衬的宽为：

54-27 3

4

cm，
左右边衬的宽为：

42-21 3

4

cm．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式；另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积-截去的面积，然后根据题意列出方程，求出未知数．