Question

（2011•红桥区一模）在平面直角坐标系中．四边形OABC各点的坐标分别是O（O，O），A（4．O），B（3，3），C（1，

3

），那么顺次连接这个四边形各边的中点，得到的新的四边形是（　　）

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．等腰梯形

Answer 1

分析：在平面直角坐标系中描出已知的四个点，连接出四边形OABC，找出四边的中点分别为M，N，P，Q，连接OB，AC，过C作CE垂直于x轴，过B作BF垂直于x轴，由A，B，C的坐标得到OE，CE，OF，BF及OA的长，在直角三角形OBF及直角三角形ACE中，分别利用勾股定理求出OB及AC的长，得到OB=AC，然后由MN为三角形OAC的中位线，利用三角形中位线定理得到MN平行于AC，且MN等于AC的一半，同理得到PQ平行于AC，且等于AC的一半，可得出MN于PQ平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到MNPQ为平行四边形，再由PN为三角形OAB的中位线，利用中位线定理得到PN等于OB的一半，由OB=AC，得到PN=MN，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出MNPQ为菱形．

解答：解：在平面直角坐标系中描出四个点，如图所示：

过C作CE⊥x轴，作BF⊥x轴，设M，N，P，Q分别为OC，OA，AB，BC的中点，
∵A（4，0），B（3，3），C（1，

3

），O（0，0），
∴CE=

3

，AE=OA-OE=4-1=3，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC=

CE2+AE2

=3

2

，
又BF=3，OF=3，
在Rt△OBF中，利用勾股定理得：OB=

BF2+OF2

=3

2

，
∴AC=OB，
又M为OC的中点，N为OA的中点，即MN为△OAC的中位线，
∴MN∥AC，MN=

1

2

AC，
同理PQ∥AC，PQ=

1

2

AC，NP=

1

2

OB，
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
又PQ=

1

2

AC，NP=

1

2

OB，且AC=OB，
∴PQ=NP，
则四边形MNPQ为菱形．
故选A

点评：此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，以及坐标与图形性质，熟练掌握定理与性质是解本题的关键．