题目内容
（2013•普陀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D在AC上，CD=1，P是边AB上的一动点，设BP=m．（1）如图甲，当m为何值时，△ADP与△ABC相似；
（2）如图乙，延长DP至点E，使EP=DP，连结AE，BE．
①四边形AEBC的面积S会随m的变化而变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出S与m的函数关系式；
②作点E关于直线AB的对称点Eˊ，连结BD，当∠DBA=2∠DEEˊ时，求m的值．
分析：（1）根据若△ADP与△ABC相似，则
=
或
=
，列出算式，再计算即可．
（2）①四边形AEBC的面积S不变，分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，则∠DGP=∠EHP=90°，再根据∠GPD=∠HPE，DP=EP，得出△DGP≌△EHP，DG=EH，再根据sin∠BAC=
=
=
，求出EH=DG=
×3，最后根据S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE代入计算即可；
②当E'在D的上方时，则 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，再根据∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D，得出∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP，BP=BD=
，即可求出m，
当E'在D的下方时，记BD与PE'交于点F，先求出DE'=2PG=2（5-m-
），再根据BD=BF+DF=BP+DE'=m+
-2m=
，求出m即可．
| AP |
| AB |
| AD |
| AC |
| AD |
| AB |
| AP |
| AC |
（2）①四边形AEBC的面积S不变，分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，则∠DGP=∠EHP=90°，再根据∠GPD=∠HPE，DP=EP，得出△DGP≌△EHP，DG=EH，再根据sin∠BAC=
| BC |
| AB |
| DG |
| AD |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
②当E'在D的上方时，则 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，再根据∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D，得出∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP，BP=BD=
| 32+12 |
当E'在D的下方时，记BD与PE'交于点F，先求出DE'=2PG=2（5-m-
| 12 |
| 5 |
| 26 |
| 5 |
| 10 |
解答：
解：（1）若△ADP与△ABC相似，
则
=
或
=
，
=
或
=
，
∴m=
或m=
，
综上所述，当m=
或m=
时，△ADP与△ABC相似；
（2）；①四边形AEBC的面积S不变，且S=
，
理由如下：如图①：
分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足，
∴∠DGP=∠EHP=90°，
又∵∠GPD=∠HPE，DP=EP，
∴△DGP≌△EHP，
∴DG=EH，
∵sin∠BAC=
=
=
，
∴EH=DG=
×3=
，
∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=
×3×4+
×5×
=
；
②当E'在D的上方时，如图②
由题意，得 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，
∴∠DPE'=2∠PEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D
∵AB⊥EE′，DE′⊥EE′，
∴AB∥DE′，
∴∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP
∴BP=BD=
=
∴m=
；
当E'在D的下方时，如图③，记BD与PE'交于点F
由（2）①，得 BF=BP，DF=DE'，
DE'=2PG=2（5-m-
）=
-2m，
∴BD=BF+DF=BP+DE'
=m+
-2m，
=
-m=
，
∴m=
-
；
综上所述，当m=
或m=
-
时，∠DBA=2∠DEE'．
解：（1）若△ADP与△ABC相似，则
| AP |
| AB |
| AD |
| AC |
| AD |
| AB |
| AP |
| AC |
| 3 |
| 4 |
| 5-m |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 5-m |
| 4 |
∴m=
| 5 |
| 4 |
| 13 |
| 5 |
综上所述，当m=
| 5 |
| 4 |
| 13 |
| 5 |
（2）；①四边形AEBC的面积S不变，且S=
| 21 |
| 2 |
理由如下：如图①：
分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足，
∴∠DGP=∠EHP=90°，
又∵∠GPD=∠HPE，DP=EP，
∴△DGP≌△EHP，
∴DG=EH，
∵sin∠BAC=
| BC |
| AB |
| DG |
| AB |
| 3 |
| 5 |
∴EH=DG=
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 5 |
| 21 |
| 2 |
②当E'在D的上方时，如图②
由题意，得 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，
∴∠DPE'=2∠PEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D
∵AB⊥EE′，DE′⊥EE′，
∴AB∥DE′，
∴∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP
∴BP=BD=
| 32+12 |
| 10 |
∴m=
| 10 |
当E'在D的下方时，如图③，记BD与PE'交于点F
由（2）①，得 BF=BP，DF=DE'，DE'=2PG=2（5-m-
| 12 |
| 5 |
| 26 |
| 5 |
∴BD=BF+DF=BP+DE'
=m+
| 26 |
| 5 |
=
| 26 |
| 5 |
| 10 |
∴m=
| 26 |
| 5 |
| 10 |
综上所述，当m=
| 10 |
| 26 |
| 5 |
| 10 |
点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等，关键是根据题意画出图形，列出算式．
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