Question

边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x²-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。（10分）

Answer 1

设直角边为a，b（a<b），则a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数，故△=（k+2）²-16k为完全平方数。
设(k+2)²-16k=n² ∴k²-12k+4=n² ∴(k-6)²-n²=32
∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8
∵k+n-6>k-n-6   ∴
解得，k₂=15,k₃=12
当k₂=15时，a+b="17,ab=60  " ∴a="15" ， b="12 " ， c=13；当k=12时，a+b=14,ab=48
∴a="6" ， b="8 " ，c=10

略