Question

（2013•阜宁县一模）已知抛物线的顶点（-1，-4）且过点（0，-3），直线l是它的对称轴．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线交x轴于点A、B（A在B的左边），交y轴于点C，P为l上的一动点，当△PBC的周长最小时，求P点的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MBC是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）²-4，然后把点（0，-3）代入求出a的值，即可得解；
（2）先求出点B、C的坐标，再根据轴对称确定最短路线问题求出点C关于直线l的对称点C′，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC′的解析式，然后令x=-1求解即可；
（3）先根据勾股定理求出BC²，设点M的坐标为（-1，y），然后分MC=BC，MB=BC，MB=MC三种情况，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）²-4，
∵抛物线经过点（0，-3），
∴a（0+1）²-4=-3，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）²-4；

（2）令y=0，则（x+1）²-4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴B（1，0），
令x=0，则（0+1）²-4=-3，
∴C（0，-3），
如图所示，直线l的对称轴为x=-1，
点C关于直线l的对称点C′（-2，-3），
设直线BC′的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=-3 k+b=0

，
解得

k=1 b=-1

，
∴y=x-1，
令x=-1，则y=-1-1=-2，
点P（-1，-2）；

（3）∵B（1，0），C（0，-3），
∴BC²=1²+3²=10，
设点M（-1，y），
①MC=BC时，MC²=1²+（y+3）²=10，
解得y=0或y=-6（M、B、C三点共线，舍去），
此时，点M₁（-1，0），
②MB=BC时，MB²=[1-（-1）]²+y²=10，
解得y=±

6

，
此时点M₂（-1，

6

），M₃（-1，-

6

），
③MB=MC时，[1-（-1）]²+y²=1²+（y+3）²，
解得y=-1，
此时点M₄（-1，-1），
综上所述，点M的坐标为M₁（-1，0），M₂（-1，

6

），M₃（-1，-

6

），M₄（-1，-1）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，（3）难点在于要根据腰长的不同进行讨论．