题目内容
【题目】在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦, ,
.
(1)在图1中,P为直径BA延长线上的一点,当CP与⊙O相切时,求PO的长;
(2)如图2,一动点M从A点出发,在⊙O上按逆时针方向运动一周,当 时,求半径OM所扫过的扇形的面积.
【答案】
(1)解:∵CP与⊙O相切,OC是半径.
∴CP⊥OC,
又∵∠OAC=∠AOC=60°,
∴∠P=90°-∠AOC=30°,
∴在Rt△POC中,CO= PO=4,
则PO=2CO=8
(2)解:如图,
①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1.
易得S△M1AO=S△CAO,∠AOM1=60°∴当点M运动到M1时,S△MAO=S△CAO,
此时点M经过的弧长为 ,
∴半径OM所扫过的扇形的面积= ;
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2,连接AM2,OM2,易得S△M2AO=S△CAO.
∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°
∴ 或
,
∴当点M运动到M2时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为 ,
∴半径OM所扫过的扇形的面积= ×
×4=
π;
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3,连接AM3,OM3,易得S△M3AO=S△CAO
∴∠BOM3=60°,
∴ =
×240或
=
×2=
∴当点M运动到M3时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为 ,
∴半径OM所扫过的扇形的面积= ×
×4=
;
④当点M运动到C时,M与C重合,S△MAO=S△CAO,
此时点M经过的弧长为 ×300°或
π+
=
∴半径OM所扫过的扇形的面积= ×
×4=
【解析】(1)根据CP与⊙O相切,得出CP⊥OC,根据题意易证△OAC是等边三角形,可求出∠P=30°,再根据直角三角形中,30°的直角边等于斜边的一半,求出OP的长。
(2)如图,当S△MAO=S△CAO时,动点M的位置有四种.①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1,先证S△MAO=S△CAO,再求出点M经过的弧长,即可求出半径OM所扫过的扇形的面积;②过点M1作M1M2∥AB交 O于点M2,连接AM2,OM2,③过点C作CM3∥AB交 O于点M3,连接AM3,OM3;④当点M运动到C时,M与C重合,求得每种情况的OM转过的度数,再根据弧长公式求得点M经过的弧长,然后求出半径OM所扫过的扇形的面积。
【考点精析】解答此题的关键在于理解含30度角的直角三角形的相关知识,掌握在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,以及对勾股定理的概念的理解,了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
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