题目内容
在点O为原点的平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时，停止转动，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，交x轴于N．（1）旋转停止时正方形旋转的度数是
45
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度；（2）在旋转过程中，当MN和AC平行时，
①△OAM与△OCA是否全等？此时正方形OABC旋转的度数是多少？
②直接写出△MBN的周长的值，并判断这个值在正方形OABC的旋转的过程中是否发生变化？
分析：（1）根据直线y=x图象上点的特点，得出线y=x与y轴的夹角是45°，即可得出求得边OA旋转的角度；
（2）①利用SAS得出全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数，即可得出答案；
②利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可．
（2）①利用SAS得出全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数，即可得出答案；
②利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可．
解答：解：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°；
故答案为：45．
（2）①△OAM≌△OCN，正方形OABC旋转的度数为22.5°．
理由：∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中
∴△OAM≌△OCN（SAS）
∴∠AOM=∠CON=
（∠AOC-∠MON）=
（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．
②△MBN的周长的值为2，
证明：如图所示：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中
，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长无变化．
∴OA旋转了45°；
故答案为：45．
（2）①△OAM≌△OCN，正方形OABC旋转的度数为22.5°．
理由：∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中
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∴△OAM≌△OCN（SAS）
∴∠AOM=∠CON=
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∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．
②△MBN的周长的值为2，
证明：如图所示：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中
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∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
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∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长无变化．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，注意求一些线段的长度或角的度数，总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上进而得出是解题关键．
练习册系列答案
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