题目内容

【题目】已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2 , 请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.

【答案】
(1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,所以x=﹣2,方程有实数根,

②当k≠0时,∵△=(2k+1)2﹣4k×2=(2k﹣1)2≥0,即△≥0,

∴无论k取任何实数时,方程总有实数根;


(2)解:令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,

解关于x的一元二次方程,得x1=﹣2,x2=﹣

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,

∴k=1.

∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2,

由图象得到:当y1>y2时,a>1或a<﹣4.


(3)解:依题意得kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,即k(x2+2x)+x﹣y+2=0恒成立,

解得

所以该抛物线恒过定点(0,2)、(﹣2,0).


【解析】(1)分情况讨论:①该方程是一元一次方程时,②该方程是一元二次方程时;(2)通过解kx2+(2k+1)x+2=0得到k=1,由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2,结合图象回答问题即可;(3)根据题意kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,由此列出关于x、y的方程组,通过解方程组求得该定点坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识,掌握根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根,以及对抛物线与坐标轴的交点的理解,了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.

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