题目内容

【题目】如图,在锐角△ABC中,AB4BC5,∠ACB45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1

1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;

2)如图2,连接AA1CC1.若△ABA1的面积为16,求△CBC1的面积;

3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值之和.

【答案】190° (2253

【解析】

1)由旋转的性质可得:∠A1C1B=ACB=45°BC=BC1,又由等腰三角形的性质,即可求得∠CC1A1的度数;

2)由旋转的性质可得:△ABC≌△A1BC1,易证得△ABA1∽△CBC1,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△CBC1的面积;

3)由①当PAC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小;②当PAC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,即可求得线段EP1长度的最大值与最小值.

解:(1)由旋转的性质可得:∠A1C1B=∠ACB45°,BCBC1

∴∠CC1B=∠C1CB45°,

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B45°+45°=90°;

2)∵△ABC≌△A1BC1

BABA1BCBC1,∠ABC=∠A1BC1

,∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1

∴∠ABA1=∠CBC1

∴△ABA1∽△CBC1

SABA116

SCBC125

3)如图,过点BBDACD为垂足,

∵△ABC为锐角三角形,

∴点D在线段AC上,

RtBCD中,BDBC×sin45°=

①当PAC上运动至BPAC时,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小,最小值为:EP1BP1BEBDBE2

②当PAC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,最大值为:EP1BC+BE2+57

因此,线段EP1长度的最大值与最小值的和为:7+2=

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