题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,函数的图像记为
,函数
的图像记为
,其中
为常数,且
,图像
、
,合起来得到的图像标记为
.
(1)求图像与
轴的交点坐标.
(2)当图像的最低点到
轴距离为3时,求
的值.
(3)当时,若点
在图像
上,求
的值.
(4)点、
的坐标分别为
、
,连接
与图像
有两个交点时
的取值范围.
【答案】(1)();(2)
;(3)
或
;(4)
,
,
.
【解析】
(1)令M1的函数值等于0,即求出x的两个解,取正数解.
(2)因为提到“最低点”,所以函数图象M1对应的抛物线开口向上,a>0,令顶点纵坐标=3即求出a的值.
(3)把点在图象M1或图象M2进行分类讨论,把a=1和y=-代入解析式即求出m的值.
(4)把a>0和a<0时图象M的大致草图画出,根据图象观察和计算说明线段PQ所在位置对交点个数的影响,得到a的范围.
(1)当ax2-2ax-4a=0时,
∵a≠0,
∴x2-2x-4=0
解得:x1=1+,x2=1-
∵x≥0,
∴图象M1与x轴的交点坐标为(1+,0)
(2)∵y=ax2-2ax-4a=a(x-1)2-5a,且图象M1的最低点到x轴距离为3
∴a>0,
∴|-5a|=3,即-5a=-3
∴a=
(3)当a=1时,点(m,)在图象M上,
①若点在图象M1上,即m≥0,m22m4=
解得:m1=1+,m2=1-
(舍去)
②若点在图象M2上,即m<0,m22m+4=
解得:m3=-1+(舍去),m4=-1-
综上所述,m的值为1+或-1-
(4)若a>0,则图象M的大致形状如图1,
①若线段PQ经过图象M1的顶点(1,-5a)
则-5a=-1,得a=
对于图象M2,-x2-
x+
=-1时,解得:x1=-1+
(舍去),x2=-1-
∵-1->-5
∴直线PQ与图象M2的交点在点P的右侧
∴线段PQ与图象M2有一个交点
∴a=时,线段PQ与图象M有两个交点
②若线段PQ比图象M1与y轴交点高时,如图2,
则-4a<-1,解得:a>
若a<0,则图象M的大致形状如图3,
③若线段PQ经过M2与y轴交点时,4a=-1 得a=,
对于图象M1,-x2+
x+1=-1时,解得:x1=-2(舍去),x2=4,
即此时线段PQ与图象M1交点为Q(4,-1),
∴当线段PQ比图象M2与y轴交点低时,与图象M2有两个交点,与图象M1没有交点,
最低不得低过图象M2的顶点(-1,5a),
∴5a<-1,
解得:a<,
综上所述,线段PQ与图象M有两个交点时,a=或a>
或a<
.
