题目内容
【题目】阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;…;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;情形二:如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角? (填“是”或“不是”).
小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为 .
根据以上内容猜想:若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为 .
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
【答案】(1)是;(2)∠B=n∠C;(3)4º,172º;8º,168º;16º,160º;44º,132º;88º,88º.
【解析】试题分析:(1)仔细分析题意根据折叠的性质及“好角”的定义即可作出判断;
(2)因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角,所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C,由∠ABB1=∠AA1B1,∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2,∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C,∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C,由此即可求得结果;
(3)因为最小角是4是△ABC的好角,根据好角定义,则可设另两角分别为4m,4mn(其中m、n都是正整数),由题意得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44,再根据m、n都是正整数可得 m与n+1是44的整数因子,从而可以求得结果.
(1)由题意得∠BAC是△ABC的好角;
(2)因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角,所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C
因为∠ABB1=∠AA1B1,∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2,∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C,
所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C
由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B=n∠C;
(3)因为最小角是4是△ABC的好角,
根据好角定义,则可设另两角分别为4m,4mn(其中m、n都是正整数).
由题意,得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44.
因为m、n都是正整数,所以m与n+1是44的整数因子,
因此有:m=1,n+1=44;m=2,n+1=22;m=4,n+1=11;m=11,n+1=4;m=22,n+1=2.
所以m=1,n=43;m=2,n=21;m=4,n=10;m=11,n=3;m=22,n=1.
所以4m=4,4mn=172;4m=8,4mn=168;4m=16,4mn=160;4m=44,4mn=132;4m=88,4mn=88.
所以该三角形的另外两个角的度数分别为:4,172;8,168;16,160;44,132;88,88.