题目内容

【题目】阅读理解

如图1,ABC中,沿BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;…;将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,BAC是ABC的好角.

小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形.情形一:如图2,沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;情形二:如图3,沿BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.

探究发现

ABC中,B=2C,经过两次折叠,BAC是不是ABC的好角?    (填“是”或“不是”).

小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角,则B与C(不妨设B>C)之间的等量关系为

根据以上内容猜想:若经过n次折叠BAC是ABC的好角,则B与C(不妨设B>C)之间的等量关系为   

应用提升

(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.

请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.

【答案】(1)是;(2∠B=n∠C;(34º172º8º168º16º160º44º132º88º88º

【解析】试题分析:(1)仔细分析题意根据折叠的性质及好角的定义即可作出判断;

2)因为经过三次折叠∠BAC△ABC的好角,所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C,由∠ABB1=∠AA1B1∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C,由此即可求得结果;

3)因为最小角是4△ABC的好角,根据好角定义,则可设另两角分别为4m4mn(其中mn都是正整数),由题意得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44,再根据mn都是正整数可得 mn+144的整数因子,从而可以求得结果.

1)由题意得∠BAC△ABC的好角;

2)因为经过三次折叠∠BAC△ABC的好角,所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C

因为∠ABB1=∠AA1B1∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C

所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C

由此可猜想若经过n次折叠∠BAC△ABC的好角,则∠B=n∠C

3)因为最小角是4△ABC的好角,

根据好角定义,则可设另两角分别为4m4mn(其中mn都是正整数).

由题意,得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44

因为mn都是正整数,所以mn+144的整数因子,

因此有:m=1n+1=44m=2n+1=22m=4n+1=11m=11n+1=4m=22n+1=2

所以m=1n=43m=2n=21m=4n=10m=11n=3m=22n=1

所以4m=44mn=1724m=84mn=1684m=164mn=1604m=444mn=1324m=884mn=88

所以该三角形的另外两个角的度数分别为:4172816816160441328888

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