Question

【题目】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H．
①求证：BD⊥CF．
②当AB=2，AD=3 时，求线段BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图2中，BD=CF成立．

理由：由旋转得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，

在△ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF，

∴BD=CF

（2）

①证明：如图3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN=∠ADN，

∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°

∴∠HFN+∠HNF=90°

∴∠NHF=90°，

∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．

∵四边形ADEF是正方形，

∴∠MDA=45°，

∵∠MAD=45°

∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，

∴AM=DM，

∵AD=3 ，

在△MAD中，AM2+DM2=AD2，

∴AM=DM=3，

∴MB=AM﹣AB=3﹣2=1，

在△BMD中，BM2+DM2=BD2，

∴BD= =

【解析】（1）结论：BD=CF．只要证明△ABD≌△ACF即可．（2）①在利用“8字型”证明∠FHN=∠DAN=90°，即可解决问题．②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．在Rt△BDM中，切线BM、DM，再利用勾股定理即可解决问题．