题目内容

【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:将点B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=x2+bx+c中,

得: ,解得:

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3


(2)解:设点M的坐标为(m,m2﹣4m+3),设直线BC的解析式为y=kx+3,

把点点B(3,0)代入y=kx+3中,

得:0=3k+3,解得:k=﹣1,

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.

∵MN∥y轴,

∴点N的坐标为(m,﹣m+3).

∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

∴抛物线的对称轴为x=2,

∴点(1,0)在抛物线的图象上,

∴1<m<3.

∵线段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣ +

∴当m= 时,线段MN取最大值,最大值为


(3)解:假设存在.设点P的坐标为(2,n).

当m= 时,点N的坐标为( ),

∴PB= = ,PN= ,BN= =

△PBN为等腰三角形分三种情况:

①当PB=PN时,即 =

解得:n=

此时点P的坐标为(2, );

②当PB=BN时,即 =

解得:n=±

此时点P的坐标为(2,﹣ )或(2, );

③当PN=BN时,即 =

解得:n=

此时点P的坐标为(2, )或(2, ).

综上可知:在抛物线的对称轴l上存在点P,使△PBN是等腰三角形,点P的坐标为(2, )、(2,﹣ )、(2, )、(2, )或(2,


【解析】(1)由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)设出点M的坐标以及直线BC的解析式,由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,结合点M的坐标即可得出点N的坐标,由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式,再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围,利用二次函数的性质即可解决最值问题;(3)假设存在,设出点P的坐标为(2,n),结合(2)的结论可求出点N的坐标,结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度,根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值,从而得出点P的坐标.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和两点间的距离,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小;同轴两点求距离,大减小数就为之.与轴等距两个点,间距求法亦如此.平面任意两个点,横纵标差先求值.差方相加开平方,距离公式要牢记即可以解答此题.

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