Question

在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程

x2+kx+3

x-1

=3x+k的解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：先把原方程化为2x²-3x-（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x=1是方程2x²-3x-（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：
（1）当△=0时；
（2）若x=1是方程①的根；
（3）当方程①有异号实根时；
（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．

解答：解：原方程可化为2x²-3x-（k+3）=0，①
（1）当△=0时，k=-

33

8

，x1=x2=

3

4

满足条件；
（2）若x=1是方程①的根，得2×1²-3×1-（k+3）=0，k=-4；
此时方程①的另一个根为

1

2

，故原方程也只有一根x=

1

2

；
（3）当方程①有异号实根时，x1x2=

-k-3

2

＜0，得k＞-3，此时原方程也只有一个正实数根；
（4）当方程①有一个根为0时，k=-3，另一个根为x=

3

2

，此时原方程也只有一个正实根．
综上所述，满足条件的k的取值范围是k=-

33

8

或k=-4或k≥-3．

点评：主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．