Question

【题目】如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于点A（﹣2，1），点B（1，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足不等式kx+b﹣ ＜0的解集；
（3）在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴，若点E（﹣a，a），如图，当曲线y= （x＜0）与此正方形的边有交点时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A（﹣2，1）在反比例函数y= 的图象上，

∴m=﹣2×1=﹣2，

∴反比例函数解析式为y=﹣ ；

∵点B（1，n）在反比例函数y=﹣ 的图象上，

∴﹣2=n，即点B的坐标为（1，﹣2）．

将点A（﹣2，1）、点B（1，﹣2）代入y=kx+b中得：

，解得： ，

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1

（2）解：不等式﹣x﹣1﹣（﹣ ）＜0可变形为：﹣x﹣1＜﹣ ，

观察两函数图象，发现：

当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例图象下方，

∴满足不等式kx+b﹣ ＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞1

（3）解：过点O、E作直线OE，如图所示．

∵点E的坐标为（﹣a，a），

∴直线OE的解析式为y=﹣x．

∵四边形EFDG是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，

∴点D的坐标为（﹣a+1，a﹣1），

∵a﹣1=﹣（﹣a+1），

∴点D在直线OE上．

将y=﹣x代入y=﹣ （x＜0）得：

﹣x=﹣ ，即x2=2，

解得：x=﹣ ，或x= （舍去）．

∵曲线y=﹣ （x＜0）与此正方形的边有交点，

∴﹣a≤﹣ ≤﹣a+1，

解得： ≤a≤ +1．

故当曲线y= （x＜0）与此正方形的边有交点时，a的取值范围为 ≤a≤ +1

【解析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数m，从而得出反比例函数解析式；由点B在反比例函数图象上，即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据两函数图象的上下关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集；（3）过点O、E作直线OE，求出直线OE的解析式，根据正方形的性质找出点D的坐标，并验证点D在直线OE上，再将直线OE的解析式代入到反比例函数解析式中，求出交点坐标横坐标，结合函数图象以及点D、E的坐标即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．