题目内容
【题目】如图1,已知直线EF分别与直线AB,CD相交于点E,F,AB∥CD,EM平分∠BEF,FM平分∠EFD.
(1)求证:∠EMF=90°.
(2)如图2,若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N,且∠BEN与∠EFN的比为4:3,求∠N的度数.
(3)如图3,若点H是射线EA之间一动点,FG平分∠HFE,过点G作GQ⊥EM于点Q,请猜想∠EHF与∠FGQ的关系,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)∠N=75°;(3)无论点H在何处都有∠EHF=2∠FGQ.证明见解析.
【解析】
(1)根据两直线平行,同旁内角互补,以及角平分线定义进行判断即可;
(2)如图2中,由题意可以假设:∠BEN=4x,∠EFN=3x,根据∠MFE=∠MFD列出方程,求出x即可得到∠N的度数;
(3)先根据题意得到∠GFQ=90°﹣∠FGQ,再根据FG平分∠HFE,FM平分∠EFD,即可得出∠HFD=2∠GFQ,最后根据∠EHF+∠HFD=180°,即可得出∠EHF=2∠FGQ.
(1)如图1中,∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∵EM平分∠BEF,FM平分∠EFD,
∴∠FEM=∠BEF,∠EFM=
∠DFE,
∴∠FEM+∠EFM=×180°=90°,
∴∠EMF=90°;
(2)如图2中,由题意可以假设:∠BEN=4x,∠EFN=3x,
∵∠EMF=90°,∠FEM=∠MEB=4x,
∴∠EFM=90°﹣4x,
∴∠NFM=∠NFD=3x﹣(90°﹣4x)=7x﹣90°,
∵∠MFE=2∠MFD,
∴90°﹣4x=2(7x﹣90°),
∴x=15°,
∴∠MFN=15°,
∴∠N=90°﹣15°=75°;
(3)如图3,∵GQ⊥FM,
∴∠GFQ+∠FGQ=180°﹣90°=90°(三角形的内角和等于180°).
∴∠GFQ=90°﹣∠FGQ.
∵FG平分∠HFE,FM平分∠EFD,
又∵∠GFQ=∠GFE+∠QFE=(∠HFE+∠EFD)=
∠HFD,
∴∠HFD=2∠GFQ.
又∵AB∥CD,
∴∠EHF+∠HFD=180°,
∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠GFQ=180°﹣2(90°﹣∠FGQ)=2∠FGQ,
即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FGQ.
