题目内容

【题目】如图1,已知直线EF分别与直线ABCD相交于点EFABCDEM平分∠BEFFM平分∠EFD.

1)求证:∠EMF90°

2)如图2,若FN平分∠MFDEM的延长线于点N,且∠BEN与∠EFN的比为43,求∠N的度数.

3)如图3,若点H是射线EA之间一动点,FG平分∠HFE,过点GGQEM于点Q,请猜想∠EHF与∠FGQ的关系,并证明你的结论.

【答案】1)见解析;(2)∠N75°;(3)无论点H在何处都有∠EHF2FGQ.证明见解析.

【解析】

1)根据两直线平行,同旁内角互补,以及角平分线定义进行判断即可;

2)如图2中,由题意可以假设:∠BEN4x,∠EFN3x,根据∠MFE=∠MFD列出方程,求出x即可得到∠N的度数;

3)先根据题意得到∠GFQ90°﹣∠FGQ,再根据FG平分∠HFEFM平分∠EFD,即可得出∠HFD2GFQ,最后根据∠EHF+HFD180°,即可得出∠EHF2FGQ

1)如图1中,∵ABCD

∴∠BEF+DFE180°

EM平分∠BEFFM平分∠EFD

∴∠FEMBEF,∠EFMDFE

∴∠FEM+EFM×180°90°

∴∠EMF90°

2)如图2中,由题意可以假设:∠BEN4x,∠EFN3x

∵∠EMF90°,∠FEM=∠MEB4x

∴∠EFM90°4x

∴∠NFM=∠NFD3x﹣(90°4x)=7x90°

∵∠MFE2MFD

90°4x27x90°),

x15°

∴∠MFN15°

∴∠N90°15°75°

3)如图3,∵GQFM

∴∠GFQ+FGQ180°90°90°(三角形的内角和等于180°).

∴∠GFQ90°﹣∠FGQ

FG平分∠HFEFM平分∠EFD

又∵∠GFQ=∠GFE+QFE(∠HFE+EFD)=HFD

∴∠HFD2GFQ

又∵ABCD

∴∠EHF+HFD180°

∴∠EHF180°﹣∠HFD180°2GFQ180°290°﹣∠FGQ)=2FGQ

即无论点H在何处都有∠EHF2FGQ

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