题目内容

如图1，已知：抛物线 $数学公式$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是 $数学公式$ ，连接AC．
（1）写出B、C两点坐标，并求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
{抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是 $数学公式$ }．

解：（1）直线 $\text{[math]}$ 中，令y=0，则x=4；令x=0，则y=-2；
故B（4，0），C（0，-2）；
由于抛物线经过点C（0，-2），故c=-2；
将B点坐标代入y= $\text{[math]}$ x²-bx-2中，得：b=- $\text{[math]}$ ；
∴抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ．

（2）根据（1）中的函数解析式可知A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）；
则AB=5，AC= $\text{[math]}$ ，BC=2 $\text{[math]}$ ；

故AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

（3）分两种情况考虑：
①如图①所示，矩形DEFG中D、E在AB边上；
设DG=EF=m；
由于FG∥x轴，则△CGF∽△CAB，
$\text{[math]}$ ，
解得FG=5- $\text{[math]}$ m；
故矩形的面积S=DG•FG=（5- $\text{[math]}$ m）m=- $\text{[math]}$ m²+5m，
即S=- $\text{[math]}$ （m-1）²+ $\text{[math]}$ ，
故m=1时，矩形的面积最大为2.5；
此时D（- $\text{[math]}$ ，0），E（2，0），G（- $\text{[math]}$ ，-1），F（2，-1）；
②如图②所示，矩形DEFG中，F、C重合，D在AB边上；
设DE=CG=n，同①可得：
$\text{[math]}$
即DG=2 $\text{[math]}$ -2n；
故矩形的面积S=DE•DG=（2 $\text{[math]}$ -2n）n=-2（n- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ；
即当n= $\text{[math]}$ 时，矩形的最大面积为2.5；
此时BD=5× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，OD=OB-BD= $\text{[math]}$ ，
即D（ $\text{[math]}$ ，0）；
综上所述，矩形的最大面积为2.5，此时矩形在AB边上的顶点坐标为（- $\text{[math]}$ ，0），（2，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）根据直线BC的解析式，可确定B、C的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定待定系数的值．
（2）由（1）得到的抛物线解析式，可求得A点的坐标，进而可得到AB、AC、BC的长，然后根据这三边的长，来判断△ABC的形状．
（3）此题应分两种情况考虑：
①矩形有两个顶点在AB边上（设这两点为D、E），首先设出DG的长为m，利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例线段，可求得GF的表达式，进而可根据矩形的面积公式求出关于矩形的面积和m的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的m值，从而确定出矩形的四顶点的坐标；
②矩形有一个顶点在AB边上（设为D），此时C、F重合，方法同①，首先设DE=n，由△ADG∽△ABC求出DG的长，进而根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和n的函数关系式，从而根据函数的性质求得矩形的最大面积和对应的n值，进而确定矩形的四个顶点坐标．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、矩形面积的计算方法、二次函数最值的应用等知识，要注意（3）题中，矩形的摆放方法有两种，不要漏解．