Question

如图1，已知：抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴x=1与x轴交于点E，A（-1，0）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在对称轴上是否存在点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在对称轴上找点Q，使点Q到A、C两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的对称性得出B点坐标为：（3，0），再利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别根据若AB∥CP，若AC∥CP，若BC∥AP得出P点坐标即可得出答案；
（3）利用相似三角形的判定，首先得出△BEQ∽△BOC，即可得出Q点的坐标．

解答：解：（1）∵A（-1，0），对称轴x=1，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，

∴B点坐标为：（3，0），将A，B代入二次函数解析式得：
∴

9a+3b-3=0 a-b-3=0

，
解得：

a=1 b=-2

，
∴y=x²-2x-3；

（2）有三种情况：
①若AB∥CP，如图1，
∵y=x²-2x-3与y轴交于点C，∴C（0，-3），
∴PE=OC=3，
∵AB≠CP，
∴P（1，-3）符合题意；
②若AC∥BP，如图2，
则∠CAO=∠EBP，
∵∠AOC=∠BEP=90°，
∴Rt△AOC∽Rt△BEP，
∴

PE

OC

=

BE

OA

，
∴

PE

3

=

2

1

，
解得：PE=6，
∵

AC

BP

=

OA

EB

=

1

2

，
∴AC≠BP，∴P（1，6）符合题意；
③若BC∥AP，如图3，
∵OB=OC=3，
∴∠PAE=∠CBO=45°，
∴PE=AE=2，
又∵AP≠BC，
∴P（1，2）符合题意，
综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，-3）或（1，2）；

（3）∵A，B关于对称轴x=1对称，
∴BC与对称轴x=1的交点即为所求的点Q，如图4，
∵QE∥y轴，
∴∠BOC=∠BEQ=90°，
∵∠ABC是公共角，
∴△BEQ∽△BOC，
∴

EQ

OC

=

BE

BO

，
即：

EQ

3

=

2

3

，
∴EQ=2，
∴Q（1，-2）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及与相似三角形的综合应用，根据已知进行分类讨论是二次函数中的考查重点，同学们应重点掌握．