Question

如图1，已知：抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=

1

2

x-2，连接AC．
（1）写出B、C两点坐标，并求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
{抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)}．

Answer 1

分析：（1）根据直线BC的解析式，可确定B、C的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定待定系数的值．
（2）由（1）得到的抛物线解析式，可求得A点的坐标，进而可得到AB、AC、BC的长，然后根据这三边的长，来判断△ABC的形状．
（3）此题应分两种情况考虑：
①矩形有两个顶点在AB边上（设这两点为D、E），首先设出DG的长为m，利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例线段，可求得GF的表达式，进而可根据矩形的面积公式求出关于矩形的面积和m的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的m值，从而确定出矩形的四顶点的坐标；
②矩形有一个顶点在AB边上（设为D），此时C、F重合，方法同①，首先设DE=n，由△ADG∽△ABC求出DG的长，进而根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和n的函数关系式，从而根据函数的性质求得矩形的最大面积和对应的n值，进而确定矩形的四个顶点坐标．

解答：解：（1）直线y=

1

2

x-2中，令y=0，则x=4；令x=0，则y=-2；
故B（4，0），C（0，-2）；
由于抛物线经过点C（0，-2），故c=-2；
将B点坐标代入y=

1

2

x²-bx-2中，得：b=-

3

2

；
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x2-

3

2

x-2．

（2）根据（1）中的函数解析式可知A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）；
则AB=5，AC=

5

，BC=2

5

；
故AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

（3）分两种情况考虑：
①如图①所示，矩形DEFG中D、E在AB边上；
设DG=EF=m；
由于FG∥x轴，则△CGF∽△CAB，

2-m

2

=

FG

5

，
解得FG=5-

5

2

m；
故矩形的面积S=DG•FG=（5-

5

2

m）m=-

5

2

m²+5m，
即S=-

5

2

（m-1）²+

5

2

，
故m=1时，矩形的面积最大为2.5；
此时D（-

1

2

，0），E（2，0），G（-

1

2

，-1），F（2，-1）；
②如图②所示，矩形DEFG中，F、C重合，D在AB边上；
设DE=CG=n，同①可得：

5 -n

5

=

DG

2 5

即DG=2

5

-2n；
故矩形的面积S=DE•DG=（2

5

-2n）n=-2（n-

5

2

）²+

5

2

；
即当n=

5

2

时，矩形的最大面积为2.5；
此时BD=5×

DE

5

=

5

2

，OD=OB-BD=

3

2

，
即D（

3

2

，0）；
综上所述，矩形的最大面积为2.5，此时矩形在AB边上的顶点坐标为（-

1

2

，0），（2，0）或（

3

2

，0）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、矩形面积的计算方法、二次函数最值的应用等知识，要注意（3）题中，矩形的摆放方法有两种，不要漏解．