Question

已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD=2，CB=2

2

，求EF的长；
（3）若设PE：CE=k，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证明BC是⊙P的切线，则连接BP，需要证明BP⊥BC．根据已知条件，连接AP．根据切线的性质得到∠PAC=90°，再根据圆周角定理的推论得到CP是直径，从而得到∠CBP=90°，证明结论；
（2）首先根据切割线定理求得CE的长，再根据勾股定理和切线长定理求得EF的长；
（3）根据等边三角形的性质和30度的直角三角形的性质进行求解．

解答：（1）证明：连接PA、PB；
∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半径，
∴AC⊥PA．
即：∠PAC=90°，
即PB⊥CB．
又∵PB是⊙P的半径，
∴BC是⊙P的切线．

（2）解：由切割线定理得：BC²=CD•CE，
∴CE=

BC2

CD

=

(2 2 )2

2

=4．
设EF=x，
根据勾股定理，得x²=（x+2

2

）²-16
∴x=

2

．

（3）解：∵△PBD为等边三角形，
∴∠CPB=60°．
∵CB是⊙P的切线，
∴CB⊥BP，
∴∠BCP=30°，△PBC为Rt△，
∴PB=

1

2

PC，PB=PE；
∴PC=2PE，CE=PC+PE，
∴CE=3PE，
∴PE：CE=

1

3

．
即：k=

1

3

时，△PBD为等边三角形．

点评：掌握切线的判定方法和性质，能够熟练运用切割线定理、勾股定理以及特殊三角形的性质．