Question

如图，已知矩形ABCD，CN平分∠DCM，E为BC边上一点，EF⊥AE交CN于点F，以AE，EF为边作矩形AEFH．
（1）若ABCD为正方形，求证：AEFH也为正方形；
（2）若AB=8，BC=10，BE=6，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）在AB上截取AP=EC，连接PE；证△APE≌△FEC，得，AE=EF，证AEFH也为正方形；
（2）过点F作BM的垂线，垂足为Q，设CQ=x，由△ABE∽△EQF，可得关于x的方程，从而求得EF．

解答：解：（1）如图，在AB上截取AP=EC，连接PE；（1分）
SAS证△APE≌△FEC得，AE=EF，（2分）
证AEFH也为正方形（3分）

（2）如图，过点F作BM的垂线，垂足为Q．（4分）
设CQ=x，
由△ABE∽△EQF，可得

x

4+x

=

6

8

，（6分）
解得x=12，（7分）
则EF=20．（8分）

点评：本题是基础题，考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的判定和性质．