题目内容

【题目】如图,在中,AB=AC,BAC=90,直角∠EPF的顶点是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F.给出以下五个结论:(1)AE=CF;(2)APE =CPF;(3)EPF是等腰直角三角形;(4)= (5)EF=AP其中一定成立的有________个.

【答案】4

【解析】

1)通过证明AEP≌△CFP就可以得出AE=CF,
(2)由∠EPA+FPA=90°,CPF+FPA=90°,就可以得出结论;
(3)由AEP≌△CFP就可以PE=PF,即可得出结论;
(4)由S四边形AEPF=SAPE+SAPF.就可以得出S四边形AEPF=SCPF+SAPF,就可以得出结论,
(5)由条件知AP=BC,当EFABC的中位线时才有EF=AP,其他情况EF≠AP.

(1)∵∠EPA+FPA=EPF=90°,CPF+FPA=90°,

∴∠APE=CPF,故(1)正确.

AB=AC,BAC=90°,

∴∠B=C=45°.

PBC的中点,

BP=CP=AP=BC.BAP=CAP=45°.

.BAP=C.

AEPCFP

∴△AEP≌△CFP(ASA),

AE=CF,PE=PF,SAEP=SCFP,故(2)正确.

∴△EPF是等腰直角三角形,故(3)正确.

S四边形AEPF=SAPE+SAPF.

S四边形AEPF=SCPF+SAPF=SAPC=SABC,故(4)正确.

∵△ABC是等腰直角三角形,PBC的中点,

AP=BC,

EF不是ABC的中位线,

EF≠AP,故(5)错误;

∴正确的共有4.

故答案为4.

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