Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）

（2）解：①由图象AB为平行四边形的边时，

∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，

∴点E的横坐标为﹣7或5，

∴点E坐标（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），此时点F（﹣1，﹣ ），

∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6× = ．

②当点E在抛物线顶点时，点E（﹣1， ），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积= ×6× =

（3）解：如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN= = ，

∴点M1坐标（﹣1，2+ ），点M2坐标（﹣1，2﹣ ）．

②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+2，

∴线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M3（﹣1．﹣1），

∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．

③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．

综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1，2﹣ ）．

【解析】（1）根据抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得到点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，得到点C坐标（0，2）；（2）①由图象AB为平行四边形的边时，AB=EF=6，对称轴x=﹣1，得到点E的横坐标为﹣7或5，求出点F的坐标，以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6× =；②当点E在抛物线顶点时，点E（﹣1， ），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积= ×6× =；（3）①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN=，所以点M1坐标（﹣1，2+ ），点M2坐标（﹣1，2﹣）；②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，因为直线AC解析式为y=﹣x+2，得到线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M3（﹣1．﹣1），点M3坐标为（﹣1，﹣1）；③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在；综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1，2﹣ ）．

【考点精析】解答此题的关键在于理解抛物线与坐标轴的交点的相关知识，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．