Question

【题目】（本题9分）如图，是的直径，是上一点，连接.过点作的切线，交的延长线于点，在上取一点，使，连接，交于点.请补全图形并解决下面的问题：

（1）求证：；

（2）如果，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE=2∠BAF，再证明∠EBD=∠BAF即可解决问题；

（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF=sin∠EBD=，AB=5，推出BF=，推出BE=2BF=2，在Rt△BEH中，EH=BEsin∠EBH=2，推出BH=，由EH∥AB，推出 ，由此即可求出DH解决问题.

解：（1）连接.

∵是的直径，∴.

∵，∴.

∵是的切线，∴.

∵，

，

∴.

∴.

（2）过点作于.

∵.∴.

在中，

∵，∴.

∴.

在中，∴.

∴.

∵，∴.

∴，解得.

∴.